La siguiente información conforma la Unidad 1, confió y espero les sea de utilidad ;)
UNIDAD 1. Variaciones numéricas en contexto
1.1 Variaciones
1.1.1 Regla de tres en contexto
1.1.2 Noción de variación a partir de un comportamiento de casos contextuales
1.1.3 Variación proporcional entre dos cantidades
1.1.4 Constante de proporcionalidad en tablas, gráficas y de forma analítica
1.1.5 Tabulación y variación numérica contextualizada
1.1.6 Tabulación y variación en el plano cartesiano
DEFINICIÓN DE VARIACIÓN: Es la relación de cambio
que existe entre dos o más cantidades.
La
variación proporcional tiene gran aplicación en situaciones cotidianas, por ejemplo:
Cuando se
prepara un pastel, es necesario que todos sus ingredientes guarden una proporción, es decir, la leche
con la harina, la mantequilla, etc.
Al preparar
mezclas de materiales para la construcción, se debe guardar una proporción entre la arena, la
grava, el cemento y la cantidad de agua necesaria.
Dentro
de la variación proporcional se tienen dos tipos: la directa y la inversa.
La variación
directamente proporcional consiste en que:
si se tienen dos cantidades (variables) y una de ellas aumenta o disminuye un
cierto número de veces, la otra también se incrementa o disminuye en igual
cantidad.
Ejemplo:
En
un laboratorio de fisiología, al medir durante cierto tiempo los litros de
sangre que bombea el corazón de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron
los siguientes datos:
En
la tabla se observa que, cuando aumenta el tiempo, también aumenta el número de
litros de sangre que bombea el corazón; esto se ve de izquierda a derecha;
ahora, si se ve la tabla de derecha a izquierda, tenemos que, al disminuir los
litros de sangre que bombea el corazón, también disminuye el tiempo que tarda
en bombear la sangre.
Tabulando:
Variable
independiente
|
Variable
dependiente
|
Tiempo
|
Litros de sangre
|
x
|
y
|
4
|
20
|
7
|
35
|
10
|
50
|
12
|
60
|
Gráficamente en el plano cartesiano se tiene:
Y la
constante de proporcionalidad se calcula con: k = y/x
Veamos otro ejemplo:
Calculando el valor de la constante de proporcionalidad
para todos los casos k = 5
A diferencia de la anterior:
La variación inversamente proporcional consiste en que: si se tienen dos cantidades
(variables) y una de ellas aumenta la otra cantidad disminuye, o al
disminuir la primera, se incrementa la segunda.
Ejemplo: Para llenar un depósito de agua se registraron los datos mostrados en la tabla empleando llaves de agua de igual diámetro.
Llaves de agua
|
5
|
3
|
1
|
Tempo (horas)
|
2.5
|
3.75
|
11.25
|
En la tabla se observa que, al disminuir el número de llaves de agua, aumenta el tiempo necesario para llenar el depósito. Luego entonces se trata de una variación inversamente proporcional porque al emplearse menos llaves de agua para llenar el depósito, se requieren de más tiempo.
Del ejemplo: ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito,
si se utilizan 7 llaves y luego 9?
Llaves de agua
|
9
|
7
|
5
|
3
|
1
|
Tempo (horas)
|
?
|
?
|
2.5
|
3.75
|
11.25
|
Sabemos que: y
=k/x y de la
tabla tenemos que y = 2.5 cuando x = 5
Sustituyendo
2.5 = k/5 de donde k = (5)(2.5) = 12.5
Para 7 llaves y= 12.5 / 7 = 1.78
Para 9 llaves y= 12.5 / 9 = 1.38
Tabulando:
Variable
independiente
|
Variable
dependiente
|
Llaves
|
Tiempo
|
x
|
y
|
1
|
11.25
|
3
|
3.75
|
5
|
2.5
|
7
|
1.78
|
9
|
1.38
|
Gráficamente en el plano cartesiano
EJERCICIOS
PROCESO DE SOLUCIÓN:
- Identificar el tipo de variación
- Si es variación proporcional directa utilizar regla de 3 o ecuaciones y
- para variación proporcional inversa utilizar ecuaciones.
EJERCICIOS:
1. Si 4 relojes de pulsera cuestan $ 438.00, ¿cuánto
costarán 13 relojes iguales a los anteriores?
Como a más relojes, más pesos a pagar, estas
cantidades están relacionadas de manera directamente proporcional.
Método 1.
Regla de 3
Se plantean las variables como sigue:
Relojes
|
Costo
|
4
|
438
|
13
|
x
|
Para obtener el costo se multiplica de forma cruzada
y el resultado se divide entre el tercer valor conocido:
x = ( 13 ) ( 438 ) / 4 = 5694
/ 4 = 1423.5
Por lo que:
Relojes
|
Costo
|
4
|
438
|
13
|
x = 1423.5
|
Método 2. Ecuaciones
Sea x la cantidad de relojes y y la
cantidad de dinero en pesos, tenemos que y = k x
Despejando k y sustituyendo valores iniciales:
k
= y/x k= $
438/4 = 109.5
Para los 13 relojes, entonces:
y
= (109.5) (13) = 1,423.5
El resultado es: $ 1423.50
2. Tres personas ejecutaron un trabajo por el cual cobraron $
5,730.00. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, tomando en cuenta que una de las
personas trabajó 12 días; otra 18 días y la tercera 15 días?
SOLUCIÓN
Como a más días trabajados corresponde más dinero,
estas cantidades son directamente proporcionales entre sí.
Método 1. Ecuaciones
Es posible escribir la ecuación D = k d, en
donde D representa al dinero ganado y d a los días trabajados.
Entre los 3 trabajadores se laboraron 45 días en
total, por lo cual cobraron $5,730.00. Por tanto:
k = D/d = 5,730/45
= 127.333333333
Una vez conocida la constante de proporcionalidad,
se obtiene la cantidad que recibirá cada trabajador:
Para el primer trabajador se tiene:
D = (127.333333333)(12) = $1,528
Para el segundo trabajador:
D = (127.333333333)(18) = $ 2,292
Para el tercer trabajador:
D = (123.333333333)(15) = $ 1,910
Método 2.
Sea:
x = cantidad de dinero que debe recibir la persona
que trabajó 12 días.
y = cantidad de dinero que debe recibir la persona
que trabajó 18 días.
z = cantidad de dinero que debe recibir la persona
que trabajó 15 días.
Entonces:
x + y + z = 5730
Como es variación directa también se tiene que:
x = k12
y= k18
z=k15
Entonces se sustituyen las ecuaciones x, y, z en la
primer ecuación
12 k + 18 k + 15 k = 5,730
Esto es:
45 k = 5,730
Por tanto:
k =127.333333333
Trabajador 1:
x = (12)(127.333333333) = $1,528
Trabajador 2:
y = (18)(123.333333333) = $ 2,292
Trabajado 3:
z = (15)(123.333333333) = $ 1,910
3. Si A varía en forma inversamente proporcional a B, y A = 20
cuando B = 121.5, encuentre B cuando A = 15.
SOLUCIÓN
De acuerdo a la definición de variación inversa se
tiene:
A B = k
Como A = 20 cuando B = 121.5, entonces:
k = (20)(121.5) = 2,430
Por tanto: A B = 2,430
Como el nuevo valor de A es 15, entonces el nuevo
valor de B será:
B = 2,430/A = 2,430/15 = 162
4. 6 hombres hacen una obra en 15 días. ¿En cuántos días podrían
hacer la misma obra 10 hombres?
SOLUCIÓN
Como a más hombres trabajando en la obra, menos días
se necesitan para terminarla, estas cantidades son inversamente proporcionales.
Si H es el número de hombres y d es el número de
días, entonces: H d = k
Es decir:
k = (6)(15) = 90
Por tanto:
d = k/H
d=90/10 = 9 días
5. Una compañía da una gratificación de $ 50,000.00 a tres de sus
empleados en forma inversamente proporcional a sus sueldos mensuales, siendo
éstos los siguientes: Agustín gana $ 3,830.00; Arturo gana $ 4,350.00 y Edmundo
gana $ 5,000.00. ¿Cuánto le toca a cada uno?
SOLUCIÓN
Sea:
X = cantidad de dinero que le toca a Agustín.
Y = cantidad de dinero que le toca a Arturo.
Z = cantidad de dinero que le toca a Edmundo.
De tal manera que: X
+Y + Z = 50000
De acuerdo al enunciado, se pueden formar las
siguientes ecuaciones:
3830 X = k
4350 Y = k
5000 Z=k
Despejando X, Y y Z de las ecuaciones y sustituyendo
en la primer ecuación:
k/3,830 + k/4,350 + k/5,000 = 50,000
57560500/83302500000 k = 50,000
k= 50,000 (83302500000)/ 57560500
k = 72'360,820.35
Sustituyendo el valor de k en cada una de las
ecuaciones y despejando la variable se tiene:
X = $ 18,893.17
Y = $ 16,634.67
Z = $ 14,472.16
6. Una fábrica produce 6,000 camisas en 5 días utilizando 30
trabajadoras. ¿Cuántas camisas se producirán en 3 días con 25 trabajadoras?
SOLUCIÓN
La información se puede disponer de la siguiente
forma:
Camisas (C)
|
Días (D)
|
Trabajadores (T)
|
6,000
|
5
|
30
|
?
|
3
|
25
|
Para obtener la ecuación de variación se procede
manejando las variables de dos en dos y suponiendo que las demás permanecen
constantes.
En este problema se tiene que, suponiendo constante
el número de trabajadoras, a más camisas producidas, más días se emplean en
producirlas; luego, estas cantidades son directamente proporcionales:
C = k1 D
En donde k1 es la constante de proporcionalidad.
Si, ahora, suponemos que los días trabajados
permanecen constantes, se tiene que a más personas trabajando, más camisas se
producen; por tanto, estas cantidades son directamente proporcionales:
C = k2 T
En donde k2 es la constante de proporcionalidad.
Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:
C = k1 k2 D T
Es posible sustituir las constantes k1 y k2 por una
única constante k:
C = k D T
La ecuación anterior es la ecuación de variación
buscada y significa que el número de camisas producidas varía en forma
directamente proporcional al número de días trabajados y al número de
trabajadoras empleadas.
El valor de k es:
k=C/D T
k = 6,000/(5)(30)
k = 40
Por tanto, el nuevo valor de C será:
C = (40)(3)(25)
C = 3,000 camisas
7. Cinco hombres trabajando 8 horas al día han hecho 80 metros de
una barda en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 8 hombres, trabajando 6 horas
diarias, para hacer 100 metros de la misma barda?
SOLUCIÓN
hombres (H)
|
horas/día (D)
|
metros (M)
|
días (T)
|
5
|
8
|
80
|
10
|
8
|
6
|
100
|
?
|
Como a más hombres trabajando, menos días se tardan
en construir la barda, entonces estas cantidades son inversamente
proporcionales:
HT = k1
Como a menos horas por día trabajadas, más días se
tardan en construir la barda, entonces estas cantidades son inversamente
proporcionales:
D T = k2
Como a más días trabajando en la construcción de la
barda, más metros se construyen, estas cantidades son directamente
proporcionales:
T = k3 M
Combinando las tres ecuaciones anteriores, se tiene:
H D T = k1 k2 k3 M
Si k1 k2 k3 = k, entonces:
HDT = k M
La ecuación anterior es la ecuación de variación del
problema.
La ecuación dice que el número de hombres trabajando
en la construcción de una barda es directamente proporcional al número de metros
construidos e inversamente proporcionales al número de días de trabajo y al
número de horas diarias de trabajo.
Despejando k, se tiene:
k=HDT/M
k = (5)(8)(10)/80
k=5
Por tanto:
T=k M/H D
T = (5)(100) (8)(6)
T = 10.4 días
8. En un concurso de matemática financiera se repartió un premio de
$ 10,000.00 entre los 3 finalistas, en forma inversa al tiempo que se tardaron
en resolver el conjunto de problemas y al número de problemas mal hechos. Si un
concursante tardó 60 minutos en resolver los problemas y tuvo 3 mal; otro
concursante tardó 50 minutos y tuvo 2 problemas mal y el tercero tardó 40
minutos y tuvo 4 mal, ¿cuánto recibió cada concursante?
SOLUCIÓN
De acuerdo al enunciado del problema se tiene que:
c t n = k
en donde c es la cantidad a recibir por cada
concursante, t es el tiempo empleado en la resolución de los problemas y n es
el número de problemas que resultaron mal.
Sea:
x = cantidad de dinero que recibe uno de los
concursantes.
y = cantidad de dinero que recibe otro de los
concursantes.
z = cantidad de dinero que recibe el tercer
concursante.
Por tanto:
(x)(60)(3) = k
(y)(50)(2) = k
(z)(40)(4) = k
Es decir:
x = k/180
y = k/100
z = k/160
Por otro lado se sabe que:
x + y + z = 10,000
Esto es:
k/180 + k/100 + k/160 = 10,000
Al resolver la ecuación anterior se tiene que:
k = 458,598.726115
Por tanto:
x = k/180 = 458,598.726115/180 =$ 2,547.77
y = k/100 = 458,598.726115/ 100 =$ 4,585.99
z = k/160 = 458,598.726115/160 =$ 2,866.24
Referencias:
http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso1/htmlb/SEC_47.HTM
http://ual.dyndns.org/Biblioteca/Matematicas_Financieras/Pdf/Unidad_04.pdf
Se sugiere consultar los ejemplos de:
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/ejercicios-resueltos-de-variacion-proporcional/
